Ваще-то согласно правилам содержания животных так оно и есть. И например КОАПом Москвы предусмотрены штрафы, если в определенных местах собака находится без поводка и намордника.

Ваще-то согласно ГК РФ так оно и есть.
Собака - это имущество владельца. Вред, нанесенный с помощью этого имущества, подлежит возмещению его хозяином.

Плюс еще есть административные штрафы. Например, в КОАПе Москвы:
Статья 5.1. Нарушение правил содержания домашних животных
5. Допущение нападения домашнего животного на другое домашнее животное, повлекшего увечье или гибель последнего
6. Причинение домашним животным дикому животному увечья или гибели
7. Допущение по неосторожности нападения домашнего животного на человека с причинением вреда здоровью человека, если это деяние не содержит признаков преступления, предусмотренного статьей 118 Уголовного кодекса Российской Федерации
8. Натравливание домашнего животного на людей или животных
9. Причинение ущерба чужому имуществу физическим воздействием домашнего животного