Все так. Изначально название такое и было - последний клиент.

Только есть одно НО - в среде людей, связанных с риском (авиаторы, подводники, автогонщики и т.д.) использование слова "последний" считается дурной приметой, а потому не принято. Вместо него используют слово "крайний", что и обыграно в названии.